Question

設函數C：f（x）=2ax-

b

x

+lnx，若f（x）在x=1，x=-

1

2

處取得極值，
（i ）求a，b的值；
（ii）在[

1

4

，2]存在x₀，使得不等式f（x₀）-c≤0，求c的最小值．

Answer 1

分析：（ i ）根據題意可得函數的定義域為（0，+∞），然后對函數求導可得f′（x）=2a+

b

x2

+

1

x

．∵f（x）在x=1，x=-

1

2

處取得極值，∴f′（1）=0，f′（

1

2

）=0，可求，b的值；
（ii）在[

1

4

，2]存在存在x₀，使得不等式f（x₀）-c≤0，只需c≥[f（x）]_min，可解．

解答：解：（i）∵f（x）=2ax-

b

x

+lnx，定義域為（0，+∞），
∴f′（x）=2a+

b

x2

+

1

x

．
∵f（x）在x=1，x=-

1

2

處取得極值，
∴f′（1）=0，f′（

1

2

）=0，
即

2a+b+1=0 2a+4b+2=0

，
解得：

a=- 1 3 b=- 1 3

，
∴所求a，b的值為-

1

3

，-

1

3

；
（ii）在[

1

4

，2]存在存在x₀，使得不等式f（x₀）-c≤0，只需c≥[f（x）]_min，
由f′（x）=-

2

3

x-

1

3x2

+

1

x

=-

2x2-3x+1

3x2

=-

(2x-1)(x-1)

3x2

，
∴當x∈[

1

4

，

1

2

]時，f′（x）＜0，故f（x）在[

1

4

，

1

2

]是單調遞減，
當x∈[

1

2

，1]時，f′（x）＞0，故f（x）在[

1

2

，1]是單調遞增，
當x∈[1，2]時，f′（x）＜0，故f（x）在[1，2]是單調遞減；
∴f（

1

2

）是f（x）在[

1

4

，2]上的極小值，
而f（

1

2

）=

1

3

+ln

1

2

=

1

3

-ln2，f（2）=-

7

6

+ln2，
且f（

1

2

）-f（2）=

3

2

-ln4=lne

3

2

-ln4，
又e³-16＞0，
∴lne

3

2

-ln4＞0，
∴[f（x）]_min=f（2），
∴c≥[f（x）]_min=-

7

6

+ln2，
∴c的取值范圍為[-

7

6

+ln2，+∞），
∴c的最小值為

7

6

+ln2．

點評：（1）若函數在某點取得極值則該店的導數為0是導數最基本的考查
（2）函數的存在性問題、恒成立問題常轉化為求解函數的最值問題，結合導數的知識可求