Question

設(shè)函數(shù)C：f（x）=2ax-+lnx，若f（x）在x=1，x=-處取得極值，
（i ）求a，b的值；
（ii）在[，2]存在x，使得不等式f（x）-c≤0，求c的最小值．

Answer 1

【答案】分析：（ i ）根據(jù)題意可得函數(shù)的定義域?yàn)椋?，+∞），然后對(duì)函數(shù)求導(dǎo)可得f′（x）=2a++．∵f（x）在x=1，x=-處取得極值，∴f′（1）=0，f′（）=0，可求，b的值；
（ii）在[，2]存在存在x，使得不等式f（x）-c≤0，只需c≥[f（x）]_min，可解．
解答：解：（i）∵f（x）=2ax-+lnx，定義域?yàn)椋?，+∞），
∴f′（x）=2a++．
∵f（x）在x=1，x=-處取得極值，
∴f′（1）=0，f′（）=0，
即，
解得：，
∴所求a，b的值為-，-；
（ii）在[，2]存在存在x，使得不等式f（x）-c≤0，只需c≥[f（x）]_min，
由f′（x）=-x-+=-=-，
∴當(dāng)x∈[，]時(shí)，f′（x）＜0，故f（x）在[，]是單調(diào)遞減，
當(dāng)x∈[，1]時(shí)，f′（x）＞0，故f（x）在[，1]是單調(diào)遞增，
當(dāng)x∈[1，2]時(shí)，f′（x）＜0，故f（x）在[1，2]是單調(diào)遞減；
∴f（）是f（x）在[，2]上的極小值，
而f（）=+ln=-ln2，f（2）=-+ln2，
且f（）-f（2）=-ln4=ln-ln4，
又e³-16＞0，
∴l(xiāng)n-ln4＞0，
∴[f（x）]_min=f（2），
∴c≥[f（x）]_min=-+ln2，
∴c的取值范圍為[-+ln2，+∞），
∴c的最小值為+ln2．
點(diǎn)評(píng)：（1）若函數(shù)在某點(diǎn)取得極值則該店的導(dǎo)數(shù)為0是導(dǎo)數(shù)最基本的考查
（2）函數(shù)的存在性問題、恒成立問題常轉(zhuǎn)化為求解函數(shù)的最值問題，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的知識(shí)可求