Question

（2012•三明模擬）已知函數f（x）的導函數是f′（x）=3x²+2mx+9，f（x）在x=3處取得極值，且f（0）=0．
（Ⅰ）求f（x）的極大值和極小值；
（Ⅱ）記f（x）在閉區間[0，t]上的最大值為F（t），若對任意的t（0＜t≤4）總有F（t）≥λt成立，求λ的取值范圍；
（Ⅲ）設M（x，y）是曲線y=f（x）上的任意一點．當x∈（0，1]時，求直線OM斜率的最小值，據此判斷f（x）與4sinx的大小關系，并說明理由．

Answer 1

分析：（I）依題意，f'（3）=0，解得m=-6，由已知可設f（x）=x³-6x²+9x+p，因為f（0）=0，所以p=0，由此能求出f（x）的極大值和極小值．
（Ⅱ）當0＜t≤1時，由（I）知f（x）在[0，t]上遞增，所以f（x）的最大值F（t）=f（t）=t³-6t²+9t，由F（t）≥λt對任意的t恒成立，得t³-6t²+9t≥λt，則λ≤t²-6t+9=（t-3）²，由此能求出λ的取值范圍．
（Ⅲ）當x∈（0，1]時，直線OM斜率k=

f(x)

x

=

x3-6x2+9x

x

=(x-3)2，因為0＜x≤1，所以-3＜x-3≤-2，則4≤（x-3）²＜9，即直線OM斜率的最小值為4．由此能夠導出f（x）＞4sinx．

解答：解：（I）依題意，f'（3）=0，解得m=-6，…（1分）
由已知可設f（x）=x³-6x²+9x+p，
因為f（0）=0，所以p=0，
則f（x）=x³-6x²+9x，導函數f'（x）=3x²-12x+9．　　…（3分）
列表：

x	（-∞，1）	1	（1，3）	3	（3，+∞）
f'（x）	+	0	-	0	+
f（x）	遞增	極大值4	遞減	極小值0	遞增

由上表可知f（x）在x=1處取得極大值為f（1）=4，
f（x）在x=3處取得極小值為f（3）=0．　　　　  …（5分）
（Ⅱ）①當0＜t≤1時，
由（I）知f（x）在[0，t]上遞增，
所以f（x）的最大值F（t）=f（t）=t³-6t²+9t，…（6分）
由F（t）≥λt對任意的t恒成立，得t³-6t²+9t≥λt，
則λ≤t²-6t+9=（t-3）²，
因為0＜t≤1，所以-3＜t-3≤-2，
則4≤（t-3）²＜9，
因此λ的取值范圍是λ≤4．　　　　　　　　　　…（8分）
②當1＜t≤4時，因為f（1）=f（4）=4，
所以f（x）的最大值F（t）=f（1）=4，
由F（t）≥λt對任意的t恒成立，得4≥λt，
∴λ≤

4

t

，
因為1＜t≤4，所以1≤

4

t

＜4，
因此λ的取值范圍是λ≤1，
綜上①②可知，λ的取值范圍是λ≤1．　　　　　　　　…（10分）
（Ⅲ）當x∈（0，1]時，
直線OM斜率k=

f(x)

x

=

x3-6x2+9x

x

=(x-3)2，
因為0＜x≤1，所以-3＜x-3≤-2，
則4≤（x-3）²＜9，
即直線OM斜率的最小值為4．　　　　　　　　…（11分）
首先，由

f(x)

x

≥4，得f（x）≥4x．
其次，當x∈（0，1]時，有4x＞4sinx，
所以f（x）＞4sinx，…（12分）
證明如下：
記g（x）=4x-4sinx，則g'（x）=4-4cosx≥0，
所以g（x）在（0，1）遞增，又g（0）=0，
則g（x）＞0在（0，1）恒成立，即4x＞4sinx，
所以 f（x）＞4sinx．…（13分）

點評：本題考查導數的應用，考查函數極值的求法，考查實數的取值范圍的求法，考查兩個數比較大小的方法．解題時要認真審題，仔細解答，注意挖掘題設中的隱含條件，合理地進行等價轉化．