Question

（2012•三明模擬）已知函數f（x）=x（x-a）²，a是大于零的常數．
（Ⅰ）當a=1時，求f（x）的極值；
（Ⅱ）若函數f（x）在區間[1，2]上為單調遞增，求實數a的取值范圍；
（Ⅲ）證明：曲線y=f（x）上存在一點P，使得曲線y=f（x）上總有兩點M，N，且

MP

=

PN

成立．

Answer 1

分析：（1）求函數的極值，先對原函數求導，根據導函數的符號，判出原函數的單調區間，從而找出極值點；
（2）根據函數的增減性來求字母系數的取值范圍，可根據函數在某區間內的增減情況，推出其導函數在區間內的符號，是問題轉化為二次不等式恒成立問題，進一步借助于二次函數圖象和二次不等式的關系來分析；
（3）曲線上存在一點P，可猜想P點很可能是一個特殊點，在求解（1）時涉及到兩個極值點，因向量方向問題，兩極值點不可能是P，所以可嘗試兩極值點的中點作為P點．

解答：解：（1）f（x）=x（x-a）²=x³-2ax²+a²x，則f^′（x）=3x²-4ax+a²，當a=1時，f^′（x）=3x²-4x+1=（3x-1）（x-1），令f^′（x）=0，得x1=

1

3

，x2=1，f（x）在區間(0，

1

3

)，(

1

3

，1)，（1，+∞）上分別單調遞增，單調遞減，單調遞增，于是當x=

1

3

時，有極大值f(

1

3

)=

4

27

；
當x=1時有極小值f（1）=0．
（Ⅱ）f'（x）=3x²-4ax+a²，若函數f（x）在區間[1，2]上為單調遞增，
則f^′（x）=3x²-4ax+a²≥0在x∈[1，2]上恒成立，當0＜

2a

3

＜1時，即a＜

3

2

時，由f^′（1）=3-4a+a²≥0得0＜a≤1；
當1≤

2a

3

≤2，即

3

2

≤a≤3時，f′(

2a

3

)=-

a2

3

≥0，無解；
當

2a

3

＞2，即a＞3時，由 f^′（2）=12-8a+a²≥0得a≥6．
綜上，當函數f（x）在區間[1，2]上為單調遞增時，0＜a≤1或a≥6．
（Ⅲ）f（x）=x（x-a）²=x³-2ax²+a²x，f^′（x）=3x²-4ax+a²，
令f'（x）=0，得x1=

a

3

 ，x2=a，
f（x）在區間(-∞，

a

3

)，(

a

3

，a)，（a，+∞）上分別單調遞增，單調遞減，單調遞增，
于是當x=

a

3

時，有極大值f(

a

3

)=

4a3

27

；
當x=a時，有極小值f（a）=0．
記A(

a

3

，

4a3

27

)，B（a，0），AB的中點p(

2a

3

，

2a3

27

)，
設M（x，y）是圖象任意一點，由

MP

=

PN

，得N(

4

3

a-x ， 

4

27

a3-y)，
因為f(

4

3

a-x)=(

4

3

a-x)3-2a(

4

3

a-x)2+a2(

4

3

a-x)=

4

27

a3-x3+2ax2-a2x=

4

27

a3-y，
由此可知點N在曲線y=f（x）上，即滿足

MP

=

PN

的點N在曲線C上．
所以曲線y=f（x）上存在一點P(

2a

3

，

2

27

a3)，使得曲線y=f（x）上總有兩點M，N，且

MP

=

PN

成立．

點評：涉及二次以上函數的極值問題，求導是必選途徑；存在性問題的求證，往往需要大膽的猜想和假設．