Question

【題目】已知函數.

（1）當時，求函數的圖像在出的切線方程；

（2）判斷函數的單調性；

（3）證明：.

Answer 1

【答案】（1）；（2）見解析；（3）見解析

【解析】

(I)當a=2時，先求出的值，即切線的斜率，然后寫出點斜式方程，再化成一般式即可.

(II)先求導，可得,然后再對和a<0兩種情況進行討論研究其單調性.

(III) 由（Ⅱ）可知，當時，在上單調遞增．

∴ 當時，，即

然后解本題的關鍵是令（），則,

又因為，即,從而問題得證

（Ⅰ）當時，，

∴，1分∴，所以所求的切線的斜率為3. 2分

又∵，所以切點為.3分故所求的切線方程為：.4分

（Ⅱ）∵ ，∴．①當時，∵，∴；②當時，由，得；由，得；綜上，當時，函數在單調遞增；

當時，函數在單調遞減，在上單調遞增．···· 8分

（Ⅲ）方法一：由（Ⅱ）可知，當時，在上單調遞增．∴ 當時，，即．···························· 10分

令（），則．··············· 11分

另一方面，∵，即,∴．∴（）．

方法二：構造函數，············· 9分

∴，··················· 10分

∴當時,；∴函數在單調遞增．∴函數，即∴，，即2分

令（），則有