Question

（2007•楊浦區二模）設過拋物線y²=4x的焦點F的直線交拋物線于A、B兩點，且AB中點為M，則點M的軌跡方程是

y²=2（x-1）

．

Answer 1

分析：先根據拋物線方程求得焦點坐標，進而設出過焦點弦的直線方程，與拋物線方程聯立消去y，根據韋達定理表示出x₁+x₂，進而根據直線方程求得y₁+y₂，進而求得焦點弦的中點的坐標的表達式，消去參數k，則焦點弦的中點軌跡方程可得．

解答：解：由題知拋物線焦點為（1，0）
設焦點弦方程為y=k（x-1）
代入拋物線方程得所以k²x²-（2k²+4）x+k²=0
由韋達定理：
x₁+x₂=

2k2+4

k2

所以中點M橫坐標：x=

x1+x2

2

=

k2+2

k2

代入直線方程，中點M縱坐標：
y=k（x-1）=

2

k

．即中點M為（

k2+2

k2

，

2

k

）
消參數k，得其方程為：y²=2x-2，
當線段PQ的斜率存在時，線段PQ中點為焦點F（1，0），滿足此式，
故答案為：y²=2（x-1）

點評：本題主要考查了拋物線的簡單性質，考查運算求解能力，考查數形結合思想、化歸與轉化思想．屬于基礎題．