Question

（2007•靜安區(qū)一模）由市場調查得知：某公司生產的一種產品，如果不作廣告宣傳且每件獲利a元，那么銷售量為b件；如果作廣告宣傳且每件售價不變，那么廣告費用n千元比廣告費用（n-1）千元時的銷售量多b×

1

2 n

件（n∈N*）．
（1）試寫出銷售量S_n與n的函數關系式；
（2）當a=10，b=4000時公司應作幾千元廣告，銷售量為多少件時，才能使去掉廣告費用后的獲利最大？

Answer 1

分析：（1）設廣告費為n千元時的銷量為s_n，則s_n-1表示廣告費為（n-1）元時的銷量，由題意，s_n-s_n-1=

b

2n

，可知數列{s_n}不成等差也不成等比數列，但是兩者的差

b

2n

構成等比數列，對于這類問題一般有以下兩種方法求解：
一、直接列式：由題，s=b+

b

2

+

b

22

+

b

23

+…+

b

2n

=b（2-

1

2n

）
解法二、利用累差疊加法：S1-S0=

b

2

，S2-S1=

b

22

，…Sn-Sn-1=

b

2n

，累加結合等比數列的求和公式可求S_n
（2））b=4000時，s=4000（2-

1

2n

），設獲利為T_n，則有T_n=s•10-1000n=40000（2-

1

2n

）-1000n，
欲使T_n最大，根據數列的單調性可得

Tn≥Tn+1 Tn≥Tn-1

，代入結合n為正整數解不等式可求n，進而可求S的最大值

解答：（1）解法一、直接列式：由題，s=b+

b

2

+

b

22

+

b

23

+…+

b

2n

=b（2-

1

2n

）（廣告費為1千元時，s=b+

b

2

；2千元時，s=b+

b

2

+

b

22

；…n千元時s=b+

b

2

+

b

22

+

b

23

+…+

b

2n

）
解法二、（累差疊加法）設s₀表示廣告費為0千元時的銷售量，
由題：

s1-s0= b 2 s2-s1= b 22 … sn-sn-1= b 2n

，相加得S_n-S₀=

b

2

+

b

22

+

b

23

+…+

b

2n

，
即S_n=b+

b

2

+

b

22

+

b

23

+…+

b

2n

=b（2-

1

2n

）．
（2）b=4000時，s=4000（2-

1

2n

），設獲利為t，則有t=s•10-1000n=40000（2-

1

2n

）-1000n
欲使T_n最大，則

Tn≥Tn+1 Tn≥Tn-1

，得

n≥5 n≤5

，故n=5，此時s=7875．
即該廠家應生產7875件產品，做5千元的廣告，能使獲利最大．

點評：本題主要考查了數列的疊加求解通項公式，利用數列的單調性求解數列的最大（小）項，解題中要注意函數思想在解題中的應用．