Question

【題目】在棱長(zhǎng)為2的正方體中.

（1）求幾何體的表面積；

（2）若分別是棱的中點(diǎn)，求證： 平面.

Answer 1

【答案】（1）；（2）證明見解析.

【解析】試題分析：（1）先證明幾何體是每個(gè)面都是正三角形的四面體，再利用正三角形面積公式可得結(jié)果；（2）取的中點(diǎn)，連，根據(jù)三角形中位線定理可證明四邊形為平行四邊形，從而可得，再根據(jù)線面平行的判定定理即可證明平面.

試題解析：（1）∵是棱長(zhǎng)為2的正方體，

所以,故幾何體是每個(gè)面都是正三角形的四面體，三角形的面積是 ，所以幾何體的表面積是 .

(2)法一：證明：取的中點(diǎn)，連，

∵， ，

∵， ，

∴， ，

∴四邊形為平行四邊形，

∴，

∵平面， 平面，

∴平面.

法二

證明：取B1C1的中點(diǎn)M，連接ME，MF，

在△D1B1C1中，MF分別是邊B1C1，D1C1的中點(diǎn)，

∴MF∥D1B1，又平面DBB1D1，D1B1平面DBB1D1，

∴MF∥平面DBB1D1，

在正方形BCC1B1中，∵M(jìn)E是對(duì)邊B1C1，BC的中點(diǎn)，∴BE∥B1M，BE=B1M，

∴四邊形BEMB1是平行四邊形，所以ME∥BB1，

又平面DBB1D1，BB1平面DBB1D1，

∴ME∥平面DBB1D1，又

所以平面MEF∥平面DBB1D1，且平面MEF

所以EF∥平面DBB1D1，

【方法點(diǎn)晴】本題主要考查線面平行的判定定理以及三棱錐的表面積，屬于難題. 證明線面平行的常用方法：①利用線面平行的判定定理，使用這個(gè)定理的關(guān)鍵是設(shè)法在平面內(nèi)找到一條與已知直線平行的直線，可利用幾何體的特征，合理利用中位線定理、線面平行的性質(zhì)或者構(gòu)造平行四邊形、尋找比例式證明兩直線平行.②利用面面平行的性質(zhì)，即兩平面平行，在其中一平面內(nèi)的直線平行于另一平面. 本題（2）是就是利用方法①證明的.