Question

直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=5，AC=4，BC=3，AA₁=4，D是AB的中點．

（1）求證：AC⊥B₁C；
（2）求證：AC₁∥平面B₁CD；

Answer 1

（Ⅰ）證明見解析（Ⅱ）證明見解析.

試題分析：（Ⅰ）要證明“線線垂直”，可通過證明“線面垂直”而得到.
由于在△ABC中，AB=5，AC=4，BC=3，
所以  AC⊥BC．又在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中C C₁⊥AC．
因此可得到AC⊥平面B B₁C₁C．證得AC⊥B₁C．
（Ⅱ）證明“線線平行”，往往可通過證明“線線平行”或“面面平行”而得到.
注意連結(jié)BC₁，利用DE為△ABC₁的中位線，得到 DE// AC₁．
從而可得AC₁∥平面B₁CD．
立體幾何中的證明問題，要注意表達的規(guī)范性及層次性.
試題解析：證明：（Ⅰ）在△ABC中，因為AB=5，AC=4，BC=3，
所以AC⊥BC．

因為直三棱柱ABC-A₁B₁C₁，所以CC₁⊥AC．
因為BC∩AC=C，所以AC⊥平面BB₁C₁C．
所以AC⊥B₁C．
（Ⅱ）連結(jié)BC₁，交B₁C于E．
因為直三棱柱ABC-A₁B₁C₁，
所以側(cè)面BB₁C₁C為矩形，且E為B₁C中點.
又D是AB中點，所以DE為△ABC₁的中位線，所以DE//AC₁．
因為DE平面B₁CD，AC₁平面B₁CD，
所以AC₁∥平面B₁CD．