Question

已知f（x）=ln（x+2）-x²+bx+c．
（Ⅰ）若函數f（x）在x=1處的切線與直線3x+7y+2=0垂直，且f（-1）=0，求函數f（x）的解析式；
（Ⅱ）若f（x）在區間[0，2]上單調遞減，求b的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先求導函數，然后根據題意可得f′(1)=

7

3

，而f（-1）=0，建立方程組，可求出b與c的值，即可求出所求；
（Ⅱ）先求導函數，設g（x）=-2x²-（4-b）x+2b+1，因為△＞0恒成立，故g（x）=0必有兩根，根據f（x）在區間[0，2]上單調遞減，則g（x）在[0，2]上值恒非正，建立關系式，可求出b的取值范圍．

解答：解：（Ⅰ）f′(x)=

1

x+2

-2x+b，
∵函數f（x）在x=1處的切線與直線3x+7y+2=0垂直
∴f′(1)=

7

3

，而f（-1）=0得b=4，c=5．
所以f（x）=ln（x+2）-x²+4x+5．…（6分）
（Ⅱ）f′(x)=

1

x+2

-2x+b=

-2x2-(4-b)x+2b+1

x+2

(x＞-2)，…（8分）
設g（x）=-2x²-（4-b）x+2b+1，
因為△＞0恒成立，故g（x）=0必有兩根．
∵f（x）在區間[0，2]上單調遞減，
∴g（x）在[0，2]上值恒非正，
∴

- -(4-b) 2•(-2) ≤0 g(0)≤0

或

- -(4-b) 2•(-2) ≥2 g(2)≤0

解得b≤-

1

2

．
故當b≤-

1

2

時，f（x）在[0，2]上單調遞減．…（12分）

點評：本題主要考查了利用導數研究曲線上某點切線方程，以及利用導數研究函數單調性，同時考查了轉化的思想和計算能力，屬于中檔題．