Question

已知f（x）=ln（1+x）-

x

1+ax

（a＞0）．
（I） 若f（x）在（0，+∞）內為單調增函數，求a的取值范圍；
（II） 若函數f（x）在x=O處取得極小值，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：先根據導數法則與公式求出f（x）的導數f′（x）．
（I）由函數的單調性與導數的關系易得f′（x）≥0，再結合二次函數的性質可得

1-2a

a2

≤0，即可求出a的取值范圍；
（II）由f（x）在x=O處取得極小值，可知在x=O左側有f′（x）＜0，在x=O右側有f′（x）＞0，則

1-2a

a2

＜0，即可求出a的取值范圍．

解答：解：由f（x）=ln（1+x）-

x

1+ax

（a＞0）
得f′（x）=

1

1+x

-

(1+ax)-ax

(1+ax)2

=

a2x(x- 1-2a a2 )

(1+x)(1+ax)2

（Ⅰ）∵f（x）在（0，+∞）內為單調增函數∴f′（x）≥0在（0，+∞）上恒成立．
又a＞0∴x(x-

1-2a

a2

)≥0在（0，+∞）上恒成立
∴

1-2a

a2

≤0，解得a≥

1

2

．
（Ⅱ）由f′（x）=

a2x(x- 1-2a a2 )

(1+x)(1+ax)2

=0 得x₁=0，x₂=

1-2a

a2

（a＞0）
其中a²、（1+x）、（1+ax）²均大于0
∵f（x）在x=O處取得極小值
∴在x=O左側有f′（x）＜0，在x=O右側有f′（x）＞0．
∴

1-2a

a2

＜0，解得a＞

1

2

．

點評：本題主要考查函數的單調性、極值與導數的關系，同時考查求導的公式與法則．