Question

已知f（x）=ln（1+x）-

1

4

x² 是定義在[0，2]上的函數
（1）求函數f（x）的單調區間
（2）若f（x）≥c對定義域內的x恒成立，求c的取值范圍．．

Answer 1

分析：（1）先求導，然后根據二次函數法研究導數大于或小于等于零，從而得到單調性．
（2）根據（1）推導出f（1）為函數f（x）的極大值，f（0）=0，從而判斷f（0）=0為函數的最小值，即可得出結果．

解答：解：（1）f'（x）=

1

1+x

- 

1

2

x
令f'（x）=0得，x²+x-2=0 
  解得x₁=-2（舍去），x₂=1
當0≤x＜1時，f'（x）＞0，f（x）單調遞增；
當1＜x≤2時，f'（x）＜0，f（x）單調遞減．
（2）由上知：f（1）=ln2-

1

4

為函數f（x）的極大值．又因為f（0）=0，f（2）=ln3-1＞0
∴f（1）＞f（2）
所以f（0）=0為函數在[0，2]上的最小值，c≤0

點評：本題主要考查用導數法研究函數的單調性，基本思路是：當函數為增函數時，導數大于等于零；當函數為減函數時，導數小于等于零；對于不等式恒成立問題，只要求出函數的最值的就可以得出結果．屬于中檔題．