Question

【題目】設函數，其中，為自然對數的底數.

（1）討論的單調性；

（2）當時，證明：函數無零點；

（3）確定的所有可能取值，使得在區間內恒成立.

（4）數學題目雖然千變萬化，有很多形式雖然陌生新穎，但仔細分析其條件后又可以轉換為若干熟悉的老問題，使新問題得以解決.因此，會將新問題轉化為老問題的思想方法是學好數學的重要方法之一.下面你將問題（3）中的條件“在區間內恒成立”變化為兩種新形式（不作解答）.

Answer 1

【答案】（1）當時，函數在上單調遞減；當時，函數在上單調遞減，，上單調遞增；（2）證明見解析；（3）；（4）見解析.

【解析】

（1），..

當時，，函數在上單調遞減.

當時，由，函數在上單調遞減，，上單調遞增.

綜上可得：當時，函數在上單調遞減.

當時，函數在上單調遞減，，上單調遞增.

（2）證明：當時，要證明：函數無零點.即可證明：，即證明.

令，.

，

函數在上單調遞增，

（1）.

當時，，因此當時，函數無零點.

（3）解：化為：.

令，.可得.

（1），在恒成立.

令，

，

當時，.

令，.

函數在，上單調遞增.

的最小值為（1）.

.

時，.

綜上可得：時，.在上單調遞增.

（1），即在上單調遞增.

，解得.

（4）變化①：時，證明在區間內恒成立.

變化②：在區間內恒成立，求實數的取值范圍.