Question

【題目】已知函數

（1）討論函數的單調性；

（2）若函數與的圖象有兩個不同的交點

（i）求實數a的取值范圍

（ii）求證：且為自然對數的底數).

Answer 1

【答案】(1) 當時,函數在上單調遞增;

當時, 函數的單調遞增區間為,單調遞減區間為.

(2)(i) (ii)證明見解析.

【解析】

(1),對分類討論：,利用導數的正負號研究函數的單調性;

(2)(i)由(1)可知，當時單調,不存在兩個零點,當時,可求得有唯一極大值,令其大于零,可得到的范圍,再判斷極大值點左右兩側附近的函數值小于零即可;

(ii)構造函數,根據函數的單調性證明即可.

由題意知,所以.

當時, ,函數在上單調遞增;

當時,令，解得；

令，解得；

所以函數在上單調遞增,在上單調遞減.

綜上所述：當時,函數在上單調遞增;

當時, 函數的單調遞增區間為,單調遞減區間為.

(2)(i) 函數與的圖象有兩個不同的交點等價于函數有兩個不同的零點,其中.

由(1)知, 當時,函數在上單調遞增;不可能有兩個零點.

當時, 函數在上單調遞增,在上單調遞減,此時為函數的最大值.

當時,最多有一個零點,

所以,解得

此時,,且，.

令,

則,

所以在上單調遞增,

所以即,

所以的取值范圍是.

(ii)因為在上單調遞增,在上單調遞減,

所以,,

所以,即,所以.

構造函數

,

則,

所以在上單調遞減,

又因為,

所以,

因為

所以,又

所以

由(1)知在上單調遞減得：即

又因為,所以

即,

又因為，所以

所以.