Question

已知函數，，且在點（1，）處的切線方程為。
（1）求的解析式；
（2）求函數的單調遞增區間；
（3）設函數，若方程有且僅有四個解，求實數a的取值范圍。

Answer 1

（1）；（2）當，則，無解，即無單調增區間，當，則，即的單調遞增區間為，當，則，即的單調遞增區間為；（3） 

試題分析：(1) 利用導數的幾何意義：曲線在某點處的導數值等于該點處曲線切線的斜率，聯立方程組求解； (2)求導，利用倒數分析單調性，注意一元二次不等式根的情形；（3）通過導數對函數單調性分析，結合圖像分析零點的問題
試題解析：（1），由條件，得
，即，                      4分
（2）由，其定義域為，
，
令，得（*）                                6分
①若，則，即的單調遞增區間為；         7分   
②若，（*）式等價于，
當，則，無解，即無單調增區間，
當，則，即的單調遞增區間為，
當，則，即的單調遞增區間為                  10分
（3）
當時，，，
令，得，且當，
在上有極小值，即最小值為                      11分
當時，，，
令，得，
①若，方程不可能有四個解；                12分
②若時，當，當，
在上有極小值，即最小值為，
又，的圖象如圖1所示，

從圖象可以看出方程不可能有四個解          14分
③若時，當，當，
在上有極大值，即最大值為，
又，的圖象如圖2所示，

從圖象可以看出方程若有四個解，
必須， 
綜上所述，滿足條件的實數的取值范圍是                      16分