Question

已知函數.
（1）求函數的單調區間；
（2）若函數滿足：
①對任意的，，當時，有成立；
②對恒成立.求實數的取值范圍.

Answer 1

（1）在上單調遞減，在上單調遞增；（2）.

試題分析：（1）先對求導，分析出導函數是單調遞增的，并得.從而得到時，，當時，.即求出函數的單調區間；（2）先由（1）中的單調區間知異號.再證明結論：當時，對任意的有成立；時，對任意的有成立.從而得出當時，有成立.然后在的范圍內研究對恒成立問題.通過在求的最值，再由最大值與最小值的差要小于或等于從而得到實數的取值范圍.
試題解析：（1），
令，則，從而在上單調遞增，即在內單調遞增，又，
所以當時，，當時，，
故在上單調遞減，在上單調遞增.              4分
（2）①由（1）可知，當， 時，必異號，不妨設，. 我們先證明一個結論：當時，對任意的有成立；時，對任意的有成立.
事實上，    
構造函數，
，(當且僅當時等號成立).又
當時，，所以在上是單調遞減，此時，對任意的有成立.當時，，所以在上是單調遞增，此時對任意的有成立；
當時，，由于在上單調遞減，所以，.同理，.
當時，當且僅當時，有成立.         8分
②時，由（1）可得，
又
構造函數，所以在上單調遞增，又所以，當時，即，
所以.
因為,若要題設中的不等式恒成立，只需成立即可.
構造函數,所以在上遞增. 又所以，由得,                 12分
又所以, 因此的取值范圍為.                 13分