Question

（2013•上海）已知真命題：“函數(shù)y=f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)P（a，b）成中心對稱圖形”的充要條件為“函數(shù)y=f（x+a）-b 是奇函數(shù)”．
（1）將函數(shù)g（x）=x³-3x²的圖象向左平移1個單位，再向上平移2個單位，求此時圖象對應(yīng)的函數(shù)解析式，并利用題設(shè)中的真命題求函數(shù)g（x）圖象對稱中心的坐標(biāo)；
（2）求函數(shù)h（x）=log2

2x

4-x

 圖象對稱中心的坐標(biāo)；
（3）已知命題：“函數(shù) y=f（x）的圖象關(guān)于某直線成軸對稱圖象”的充要條件為“存在實數(shù)a和b，使得函數(shù)y=f（x+a）-b 是偶函數(shù)”．判斷該命題的真假．如果是真命題，請給予證明；如果是假命題，請說明理由，并類比題設(shè)的真命題對它進(jìn)行修改，使之成為真命題（不必證明）．

Answer 1

分析：（1）先寫出平移后圖象對應(yīng)的函數(shù)解析式為y=（x+1）³-3（x+1）²+2，整理得y=x³-3x，由于函數(shù)y=x³-3x是奇函數(shù)，利用題設(shè)真命題知，函數(shù)g（x）圖象對稱中心．
（2）設(shè)h（x）=log2

2x

4-x

 的對稱中心為P（a，b），由題設(shè)知函數(shù)h（x+a）-b是奇函數(shù)，從而求出a，b的值，即可得出圖象對稱中心的坐標(biāo)．
（3）此命題是假命題．舉反例說明：函數(shù)f（x）=x的圖象關(guān)于直線y=-x成軸對稱圖象，但是對任意實數(shù)a和b，函數(shù)y=f（x+a）-b，即y=x+a-b總不是偶函數(shù)．修改后的真命題：“函數(shù)y=f（x）的圖象關(guān)于直線x=a成軸對稱圖象”的充要條件是“函數(shù)y=f（x+a）是偶函數(shù)”．

解答：解：（1）平移后圖象對應(yīng)的函數(shù)解析式為y=（x+1）³-3（x+1）²+2，整理得y=x³-3x，
由于函數(shù)y=x³-3x是奇函數(shù)，由題設(shè)真命題知，函數(shù)g（x）圖象對稱中心的坐標(biāo)是（1，-2）．
（2）設(shè)h（x）=log2

2x

4-x

 的對稱中心為P（a，b），
由題設(shè)知函數(shù)h（x+a）-b是奇函數(shù)．
設(shè)f（x）=h（x+a）-b，則f（x）=log2

2(x+a)

4-(x+a)

-b，
即f（x）=log2

2x+2a

4-x-a

-b．
由不等式

2x+2a

4-x-a

＞0的解集關(guān)于原點(diǎn)對稱，則-a+（4-a）=0，得a=2．
此時f（x）=log2

2(x+2)

4-(x+2)

-b，x∈（-2，2）．
任取x∈（-2，2），由f（-x）+f（x）=0，得b=1，
所以函數(shù)h（x）=log2

2x

4-x

 圖象對稱中心的坐標(biāo)是（2，1）．
（3）此命題是假命題．
舉反例說明：函數(shù)f（x）=x的圖象關(guān)于直線y=-x成軸對稱圖象，
但是對任意實數(shù)a和b，函數(shù)y=f（x+a）-b，即y=x+a-b總不是偶函數(shù)．
修改后的真命題：“函數(shù)y=f（x）的圖象關(guān)于直線x=a成軸對稱圖象”的充要條件是“函數(shù)y=f（x+a）是偶函數(shù)”．

點(diǎn)評：本小題主要考查命題的真假判斷與應(yīng)用，考查函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用、函數(shù)奇偶性的應(yīng)用、函數(shù)的對稱性等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想．屬于中檔題．