Question

（2013•上海）已知拋物線C：y²=4x 的焦點為F．
（1）點A，P滿足

AP

=-2

FA

．當點A在拋物線C上運動時，求動點P的軌跡方程；
（2）在x軸上是否存在點Q，使得點Q關于直線y=2x的對稱點在拋物線C上？如果存在，求所有滿足條件的點Q的坐標；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）設出動點P和A的坐標，求出拋物線焦點F的坐標，由

AP

=-2

FA

得出P點和A點的關系，由代入法求動點P的軌跡方程；
（2）設出點Q的坐標，在設出其關于直線y=2x的對稱點Q^′的坐標，由斜率關系及中點在y=2x上得到兩對稱點坐標之間的關系，再由點Q^′在拋物線上，把其坐標代入拋物線方程即可求得Q點的坐標．

解答：解：（1）設動點P的坐標為（x，y），點A的坐標為（x_A，y_A），則

AP

=(x-xA，y-yA)，
因為F的坐標為（1，0），所以

FA

=(xA-1，yA)，
由

AP

=-2

FA

，得（x-x_A，y-y_A）=-2（x_A-1，y_A）．
即

x-xA=-2(xA-1) y-yA=-2yA

，解得

xA=2-x yA=-y

代入y²=4x，得到動點P的軌跡方程為y²=8-4x．
（2）設點Q的坐標為（t，0）．點Q關于直線y=2x的對稱點為Q^′（x，y），
則

y x-t =- 1 2 y 2 =x+t

，解得

x=- 3 5 t y= 4 5 t

．
若Q^′在C上，將Q^′的坐標代入y²=4x，得4t²+15t=0，即t=0或t=-

15

4

．
所以存在滿足題意的點Q，其坐標為（0，0）和（-

15

4

，0）．

點評：本題考查了軌跡方程，考查了直線和圓錐曲線間的關系，考查了代入法求曲線方程，考查了存在性問題的求解方法，屬中檔題．