Question

若四面體ABCD的三組對棱分別相等,即AB=CD,AC=BD,AD=BC,則　　　　(寫出所有正確結論的編號). 
①四面體ABCD每組對棱相互垂直;
②四面體ABCD每個面的面積相等;
③從四面體ABCD每個頂點出發的三條棱兩兩夾角之和大于90°而小于180°;
④連接四面體ABCD每組對棱中點的線段相互垂直平分;
⑤從四面體ABCD每個頂點出發的三條棱的長可作為一個三角形的三邊長.

Answer 1

②④⑤

把四面體補形為平行六面體,由三組對棱分別相等可知此平行六面體為長方體,如圖所示,只有長方體為正方體時①才正確,故①不正確.

在長方體中,有△BAC≌△DCA.
△ABC≌△DCB,△CBD≌△ADB.
∴四面體ABCD每個面的面積都相等,故②正確.
對于③,以∠BAC,∠CAD,∠BAD為例說明.
∵△BAC≌△DCA,∴∠CAD=∠ACB.
又∵△DAB≌△CBA,
∴∠BAD=∠ABC.
∴∠BAC+∠CAD+∠BAD=∠BAC+∠ACB+∠ABC=180°,故③不正確.
對于④,連接四面體ABCD對棱中點的線段即是連接長方體對面中心的線段,顯然相互垂直平分,故④正確.
對于⑤,以AB、AC、AD為例進行說明.
∵AD=BC,AB、AC、BC三邊長可構成△ABC,
∴AB、AC、AD可以作為一個三角形的三邊長.同理可得從其他頂點出發的三條棱的長也可以作為一個三角形的三邊長.故⑤正確.