Question

【題目】已知在平面直角坐標系中，，（），其中數列、都是遞增數列.

（1）若，，判斷直線與是否平行；

（2）若數列、都是正項等差數列，它們的公差分別為、，設四邊形的面積為（），求證：也是等差數列；

（3）若，（），，記直線的斜率為，數列前8項依次遞減，求滿足條件的數列的個數.

Answer 1

【答案】（1）不平行；（2）證明見解析；（3）9個.

【解析】

（1）確定A1（3，0），B1（0，4），A2（5，0），B2（0，7），求得斜率，可得A1B1與A2B2不平行；

（2）因為{an}，{bn}為等差數列，設它們的公差分別為d1和d2，則an＝a1+（n﹣1）d1，bn＝b1+（n﹣1）d2，an+1＝a1+nd1，bn+1＝b1+nd2，從而可得，進而可證明數列{Sn}是等差數列；

（3）求得，根據數列{kn}前8項依次遞減，可得an﹣a+b＜0對1≤n≤7（n∈Z）成立，根據數列{bn}是遞增數列，故只要n＝7時，7a﹣a+b＝6a+b＜0即可，關鍵b1＝a+b≥﹣12，聯立不等式作出可行域，即可得到結論．

（1）由題意A1（3，0），B1（0，4），A2（5，0），B2（0，7），

所以，

，

因為，所以A1B1與A2B2不平行．

（2）因為{an}，{bn}為等差數列，設它們的公差分別為d1和d2，

則an＝a1+（n﹣1）d1，bn＝b1+（n﹣1）d2，an+1＝a1+nd1，bn+1＝b1+nd2

由題意

所以[b1+（n﹣1）d2]}

，

所以，

所以Sn+1﹣Sn＝d1d2是與n無關的常數，

所以數列{Sn}是等差數列

（3）因為An（an，0），Bn（0，bn），

所以

又數列{kn}前8項依次遞減，

所以0，

對1≤n≤7（n∈Z）成立，

即an﹣a+b＜0對1≤n≤7（n∈Z）成立．

又數列{bn}是遞增數列，所以a＞0，故只要n＝7時，7a﹣a+b＝6a+b＜0即可．

又b1＝a+b≥﹣12，聯立不等式作出可行域（如右圖所示），易得a＝1或2，

當a＝1時，﹣13≤b＜﹣6即b＝﹣13，﹣12，﹣11，﹣10，﹣9，﹣8，﹣7，有7個解；

當a＝2時，﹣14≤b＜﹣12，即b＝﹣14，﹣13，有2個解，所以數列{bn}共有9個．