Question

如圖，四面體中，、分別是、的中點(diǎn)，

（Ⅰ）求證：平面；
（Ⅱ）求二面角的正切值；
（Ⅲ）求點(diǎn)到平面的距離．

Answer 1

（Ⅰ）詳見解析；（Ⅱ）；（Ⅲ）．

試題分析：（1）由題意可知，為等腰三角形，是邊上的中線，所以，再由已知條件算出的三條邊長，由此根據(jù)勾股定理，可證,從而得證平面；（2）作于F，連AF，由（1）知， 故，所以 ,則 是二面角的平面角，利用平面幾何知識(shí)即可算出其正切值；（3）設(shè)點(diǎn)E到平面ACD的距離為因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824025809851729.png" style="vertical-align:middle;" />,所以,從而求出．也可以點(diǎn)為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，寫出各個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，利用利用空間向量方法，求解各個(gè)小題，詳見解析．
試題解析：（Ⅰ）證明：連結(jié)OC


在中，由已知可得而
即
平面
（Ⅱ）解： 作于F，連AF
由（1）知， 故 
 , 是二面角的平面角，
易知,.
即所求二面角的正切值為 
（Ⅲ）解：設(shè)點(diǎn)E到平面ACD的距離為


在中，

而

點(diǎn)E到平面ACD的距離為
方法二：（Ⅰ）同方法一.
（Ⅱ）解：以O(shè)為原點(diǎn)，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則

（Ⅲ）解：設(shè)平面ACD的法向量為則


令得是平面ACD的一個(gè)法向量，又
點(diǎn)E到平面ACD的距離．