Question

如圖，圓錐的頂點是S，底面中心為O．OC是與底面直徑AB垂直的一條半徑，D是母線SC的中點．
（1）求證：BC與SA不可能垂直；
（2）設圓錐的高為4，異面直線AD與BC所成角的余弦值為，求圓錐的體積．

Answer 1

【答案】分析：（1）法一應用反證法，若 BC⊥SA，推出∠SCB是銳角與BC⊥SC矛盾．
法二建立空間直角坐標系，求說明兩條直線不垂直．
（2）利用空間直角坐標系數量積求出底面半徑，然后求體積．
解答：解：（1）證法一：反證法：若 BC⊥SA，
連AC，由AB是直徑
則AC⊥BC，所以 BC⊥平面SAC
則 BC⊥SC
又圓錐的母線長相等，
∠SCB是等腰三角形SBC的底角，
則∠SCB是銳角
與BC⊥SC矛盾，所以BC與SA不垂直
證法二：建立如圖坐標系，設圓錐的高為h，
底面半徑為r，
則 B（0，r，0），C（r，0，0），A（0，-r，0）
S（0，0，h），
，
，
所以BC與SA不垂直．

（2）建立如圖坐標系，設底面半徑為r，
由高為4．則 D（），則，

，
解得  r=2，
所以V=．
點評：本題考查組合體及旋轉體的體積，空間直角坐標系，直線與平面所成的角，考查反證法，是中檔題．