Question

已知拋物線，點(diǎn)，過的直線交拋物線于兩點(diǎn).
（1）若，拋物線的焦點(diǎn)與中點(diǎn)的連線垂直于軸，求直線的方程；
（2）設(shè)為小于零的常數(shù)，點(diǎn)關(guān)于軸的對稱點(diǎn)為，求證：直線過定點(diǎn)

Answer 1

（1）；（2）參考解析

試題分析：（1）由題意可得通過假設(shè)直線方程聯(lián)立拋物線方程，消去y可得一個(gè)一元二次方程，通過韋達(dá)定理寫出根與系數(shù)的關(guān)系.由中點(diǎn)的橫坐標(biāo)等于拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)的橫坐標(biāo)可解出直線的斜率k的值.即可求出直線方程.
（2）由直線方程與拋物線的方程聯(lián)立可得，關(guān)于點(diǎn)A,B的坐標(biāo)關(guān)系，從而得到的坐標(biāo)，寫出直線B的方程.由于其中含有A,B的坐標(biāo)值，通過整理成為的形式即可知道，直線恒過定點(diǎn).
試題解析：（1）解：由已知，拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為.
設(shè)過點(diǎn)的直線的方程為，
由   得.
設(shè)，，則.
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824034156786302.png" style="vertical-align:middle;" />與中點(diǎn)的連線垂直于軸，所以，即.
解得 ，.
所以，直線的方程為.
（2）證明：設(shè)直線的方程為.
由  得，
則，且，即，且.
.
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824034157098412.png" style="vertical-align:middle;" />關(guān)于軸對稱，所以，直線，
又 ，，所以，
所以 .
因?yàn)?，又同號(hào)，，
所以 ，
所以直線的方程為，
所以，直線恒過定點(diǎn).