Question

已知△的兩個頂點的坐標分別是，，且所在直線的斜率之積等于．
（1）求頂點的軌跡的方程，并判斷軌跡為何種圓錐曲線；
（2）當時，過點的直線交曲線于兩點，設點關于軸的對稱點為(不重合)， 試問：直線與軸的交點是否是定點？若是，求出定點，若不是，請說明理由.

Answer 1

（1）詳見解析；（2）.

試題分析：（1）設出頂點C的坐標，由AC，BC所在直線的斜率之積等于m（m≠0）列式整理得到頂點C的軌跡E的方程，然后分m的不同取值范圍判斷軌跡E為何種圓錐曲線；
（2）把代入E得軌跡方程，由題意設出直線l的方程，和橢圓方程聯立后利用根與系數關系求出M，N兩點的橫坐標的和與積，由兩點式寫出直線MQ的方程，取y=0后求出x，結合根與系數關系可求得x=2，則得到直線MQ與x軸的交點是定點，并求出定點．.
試題解析：（1）由題知：
化簡得：                  2分
當時 軌跡表示焦點在軸上的橢圓，且除去兩點；
當時 軌跡表示以為圓心半徑是１的圓，且除去兩點；
當時 軌跡表示焦點在軸上的橢圓，且除去兩點；
當時  軌跡表示焦點在軸上的雙曲線，且除去兩點； 6分
（2）設 
依題直線的斜率存在且不為零，則可設:，
代入整理得
，，                9分
又因為不重合，則
的方程為 令，
得
故直線過定點.                      14分
解二：設
依題直線的斜率存在且不為零，可設:
代入整理得：
,，             9分
的方程為  令，
得
直線過定點             14分