Question

（本小題滿分13分）
已知函數．
（Ⅰ）求函數的極大值；
（Ⅱ）若對滿足的任意實數恒成立，求實數的取值范圍（這里是自然對數的底數）；
（Ⅲ）求證：對任意正數、、、，恒有
．

Answer 1

（Ⅰ）極大值為．（Ⅱ）；（Ⅲ）見解析。

（Ⅰ）
∴的增區間為，減區間為和．極大值為．
（Ⅱ）原不等式可化為由（Ⅰ）知，時，的最大值為．
∴的最大值為，由恒成立的意義知道，從而
（Ⅲ）設
則．
∴當時，，故在上是減函數，
又當、、、是正實數時，
∴．
由的單調性有：，
即．