Question

函數f(x)=

x+b

1+x2

是定義在（-1，1）上的奇函數．
（Ⅰ）求函數f（x）的解析式；
（Ⅱ）用單調性定義證明函數f（x）在（0，1）上是增函數．

Answer 1

（ I）∵函數f（x）是定義在（-1，1）上的奇函數，f（-x）=-f（x）…（2分）
故

-x+b

1+x2

=-

x+b

1+x2

，
所以b=0，…（4分）
所以f(x)=

x

1+x2

．…（5分）
（ II）設0＜x₁＜x₂＜1，△x=x₂-x₁＞0，…（6分）
則△y=f（x₂）-f（x₁）=

x2

1+ x 22

-

x1

1+ x 21

=

x2-x1+x2 x 21 -x1 x 22

(1+ x 21 )(1+ x 22 )

=

(x2-x1)(1-x1x2)

(1+ x 21 )(1+ x 22 )

=

△x(1-x1x2)

(1+ x 21 )(1+ x 22 )

…（8分）
∵0＜x₁＜x₂＜1，
∴△x=x₂-x₁＞0，1-x₁x₂＞0…（10分）
∴而1+

x

21

＞0，1+

x

22

＞0，
∴△y=f（x₂）-f（x₁）＞0…（11分）
∴f（x）在（0，1）上是增函數．…（12分）