Question

【題目】設(shè)函數(shù)f（x）=2ax﹣ +lnx，若f（x）在x=1，x= 處取得極值， （Ⅰ）求a、b的值；
（Ⅱ）求f（x）在[ ，2]上的單調(diào)區(qū)間
（Ⅲ）在[ ，2]存在x0 ， 使得不等式f（x0）﹣c≤0成立，求c的最小值．
（參考數(shù)據(jù)：e2≈7.389，e3≈20.08）

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）∵函數(shù)f（x）=2ax﹣ +lnx， ∴f′（x）=2a﹣ + ，x＞0，
∵若f（x）在x=1，x= 處取得極值，
∴f′（1）=0，f′（ ）=0，即2a﹣b+1=0，2a﹣4b+2=0，
解得a=﹣ ，b= ；
（Ⅱ）f′（x）= ，x＞0，
∵f′（x）= ＞0，
∴ ，
∵f′（x）= ＜0， ＜x＜2
∴ ＜x ，1＜x＜2，
∴單調(diào)遞增區(qū)間（ ，1），遞減區(qū)間（ ， ），（1，2）；
（Ⅲ）f（x）=﹣ x- +lnx，
f（ ）=﹣ ﹣ln2，f（2）=﹣ +ln2，f（ ）=﹣1﹣ln2
f（1）=﹣1，
f（x）在[ ，2]上的最大值為：﹣ +ln2，
最小值為：﹣1﹣ln2
∵在[ ，2]存在x0 ， 使得不等式f（x0）﹣c≤0成立，
∴c≥f（x）min ， c≥﹣1﹣ln2
c的最小值為：﹣1﹣ln2
【解析】（Ⅰ）利用存在極值的條件得出f′（1）=0，f′（ ）=0，求解．（Ⅱ）利用導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性的關(guān)系f′（x）= ＞0，f′（x）= ＜0， ＜x＜2求解得出區(qū)間，（Ⅲ）利用導(dǎo)數(shù)求解最大值，最小值，根據(jù)在[ ，2]存在x0 ， 使得不等式f（x0）﹣c≤0成立，c≥f（x）min ， 求解即可．
【考點精析】本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)的相關(guān)知識點，需要掌握一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負有如下關(guān)系： 在某個區(qū)間內(nèi)，(1)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞增；(2)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞減；求函數(shù)的極值的方法是:（1）如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極大值（2）如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極小值才能正確解答此題．