Question

【題目】已知定義在上的函數是奇函數.

（1）求函數的值域；

（2）若在上單調遞減，根據單調性定義求實數b的取值范圍；

（3）在（2）的條件下，若方程在區間上有且僅有兩個不同的根，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）

【解析】

（1）先由函數奇偶性，得到，求得，借助基本不等式可求函數的值域；

（2）先設，作差得，根據單調性的定義，即可求出結果；

（3）根據（1）（2）的結果，得到方程在區間上有且僅有一個非零根，設，根據二次函數零點分布的情況，即可列出不等式求解.

（1）因為定義在上的函數是奇函數，

所以，即；所以；

當時，；

當時，，根據基本不等式可得：若，則；若，則；即，即；

綜上，函數的值域為；

（2）設，則，

因為在上單調遞減，

所以，因為，，，所以，

故實數b的取值范圍是；

（3）由（1）（2）得，方程可化為或，

由已知得，方程在區間上有且僅有一個非零根.

設，

①，解得：；

②，解得：.

綜上，實數的取值范圍是.