Question

【題目】已知橢圓兩焦點分別為是橢圓在第一象限弧上一點，并滿足，過P作傾斜角互補的兩條直線分別交橢圓于兩點．

(1)求點坐標；

(2)求證：直線的斜率為定值；

(3)求面積的最大值．

Answer 1

【答案】（1） ； （2）證明見解析；（3） .

【解析】

（1）設出的坐標，則可分別表示出和，進而利用求得和的關系,同時根據求得和即的坐標；（2）設出的方程,與橢圓方程聯立根據，表示出和,同理表示出點的坐標,進而求得的斜率，化簡即可得結果；（3）設出的方程與橢圓的方程聯立,利用韋達定理表示出和,進而求得,最后利用弦長公式求得的長，利用三角形面積公式表示出三角形面積，結合基本不等式即可得到結論.

（1）由題可得，

設，

則，

，

點在曲線上，則，

從而，得，

則點的坐標為.

（2）由題意知，兩直線的斜率必存在，設的斜率為，

則的直線方程為，

由得，

設，則，

同理可得，

則，

的斜率為定值.

（3）設的直線方程，

得，

由得，

到的距離為，

則

，

當且僅當時取等號，

三角形面積的最大值為.