Question

【題目】已知函數.

（1）若函數在區間上單調遞增，求實數的最小值；

（2）若函數在區間上無零點，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】(1)；(2).

【解析】分析：(1) 求出，分兩種情況討論的范圍，在定義域內，分別令求得的范圍，可得函數增區間，令是所求區間的子集即可得結果；（2）“函數在區間上無零點”等價于“函數與的圖象在上沒有公共點”，討論三種情況，分別畫出函數的圖象，結合直線過定點，即可求得實數的取值范圍.

詳解：(1) 函數的定義域為，

討論：

當時，，

此時函數在上單調遞增，滿足題設；

當時，令，得；令，得,

所以此時函數在區間上單調遞減，在區間上單調遞增，

又函數在區間上單調遞增，所以，解得，

綜上，實數的最小值是.

（2）由，得

設，則“函數在區間上無零點”等價于“函數與的圖象在上沒有公共點”

討論：

當時，在上是單調遞增函數，函數在上也是單調遞增函數，

作出函數與函數滿足題意的草圖（草圖可能有兩種情況）如下：

圖1 圖2

（i）如圖1，，即，解得；

（ii）如圖2，對任意恒成立

又當時，，所以，解得

又，得

綜上，或；

當時，符合題意；

當時，在上是單調遞減函數，在上是單調遞增函數，

作出函數與函數滿足題意的草圖如下：

觀察圖象可知符合題意.

綜上，所求實數的取值范圍是.