Question

【題目】某地舉行水上運(yùn)動(dòng)會(huì)，如圖，岸邊有兩點(diǎn)，，小船從點(diǎn)以千米/小時(shí)的速度沿方向勻速直線行駛，同一時(shí)刻運(yùn)動(dòng)員出發(fā)，經(jīng)過(guò)小時(shí)與小船相遇.（水流速度忽略不計(jì)）

（1）若，，運(yùn)動(dòng)員從處出發(fā)游泳勻速直線追趕，為保證在1小時(shí)內(nèi)（含1小時(shí)）能與小船相遇，試求運(yùn)動(dòng)員游泳速度的最小值；

（2）若運(yùn)動(dòng)員先從處沿射線方向在岸邊跑步勻速行進(jìn)小時(shí)后，再游泳勻速直線追趕小船.已知運(yùn)動(dòng)員在岸邊跑步的速度為4千米小時(shí)，在水中游泳的速度為2千米小時(shí)，試求小船在能與運(yùn)動(dòng)員相遇的條件下的最大值.

Answer 1

【答案】（1）2；（2）.

【解析】

（1）設(shè)運(yùn)動(dòng)員游泳的速度為千米/小時(shí)，結(jié)合余弦定理即可表示出，再由二次函數(shù)性質(zhì)即可求得速度的最小值.

（2）根據(jù)余弦定理代入化簡(jiǎn)變形，可轉(zhuǎn)化為一元二次方程，由一元二次方程有解，即可確定，進(jìn)而求得速度的最大值.

（1）設(shè)運(yùn)動(dòng)員游泳的速度為千米/小時(shí)，

由余弦定理可知，

化簡(jiǎn)可得，

因?yàn)?/span>，所以，

則當(dāng)，即時(shí)，取得最小值，此時(shí)，

所以為保證在1小時(shí)內(nèi)（含1小時(shí)）能與小船相遇，運(yùn)動(dòng)員游泳速度的最小值為2.

（2）運(yùn)動(dòng)員游泳時(shí)間為 小時(shí)，運(yùn)動(dòng)員在岸邊跑步的速度為4千米小時(shí)，在水中游泳的速度為2千米小時(shí)，

由余弦定理可知，

整理化簡(jiǎn)可得，

設(shè)，

則上式可化為在內(nèi)有解，

則，

解得，

當(dāng)時(shí)，代入方程可解得，滿足，

所以小船在能與運(yùn)動(dòng)員相遇的條件下的最大值為.