Question

【題目】（本小題滿分12分）如圖，在多面體中，底面是邊長為的的菱形， ，四邊形是矩形，平面平面， ， 和分別是和的中點．

（Ⅰ）求證：平面平面；

（Ⅱ）求二面角的大小．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）證明見解析；

（Ⅱ）．

【解析】試題分析：第一問根據三角形的中位線找到平行線，利用面面平行的判定定理，在其中一個平面內找到和另一個平面平行的兩條相交直線，證得結果，第二問先在幾何體中找到共點的相互垂直的三條直線，建立相應的空間直角坐標系，求得面的法向量，利用面的法向量所成的角的余弦值判斷求得二面角的余弦值，結合二面角的取值范圍，求得二面角的大小．

試題解析：（Ⅰ）證明：在中，因為分別是的中點，

所以， 又因為平面， 平面，

所以平面． 設，連接，

因為為菱形，所以為中點

在中，因為， ，

所以，

又因為平面， 平面，

所以平面． 又因為， 平面，

所以平面平面．

（Ⅱ）解：取的中點，連接，因為四邊形是矩形， 分別為的中點，

所以，因為平面平面，所以平面，

所以平面，因為為菱形，所以，得兩兩垂直．

所以以為原點， 所在直線分別為軸， 軸， 軸，如圖建立空間直角坐標系．

因為底面是邊長為的菱形， ， ，所以， ， ， ， ， ．所以， ．設平面的法向量為，則．令，得．

由平面，得平面的法向量為，則

所以二面角的大小為．