Question

如圖，斜三棱柱ABC—A₁B₁C₁的底面是直角三角形，AC⊥CB，
∠ABC=45°，側面A₁ABB₁是邊長為a的菱形，且垂直于底面ABC，∠A₁AB=60°，E、F分別是AB₁、BC的中點.
（1）求證EF//平面A₁ACC₁；
（2）求EF與側面A₁ABB₁所成的角；
（3）求二面角的大小的余弦值.

Answer 1

（1）見解析；（2）EF與平面A₁ABB₁所成的角為30°；
（3）二面角的大小為余弦值.

(1)本題的關鍵是證,連接A₁B，A₁C，顯然EF是三角形A₁CB的中位線，問題得證.
（2）先做出線面角是解本小題的關鍵.作FG⊥AB交AB于G，連EG ∵側面A₁ABB₁⊥平面ABC且交線是AB ∴FG⊥平面A₁ABB₁，∴∠FEG是EF與平面A₁ABB₁所成的角
（3）取AB的中點M，可以證明,以BC為y軸，以MC為x軸,MA₁為z軸建立空間直角坐標系,然后利用向量法求二面角即可. 
證明： （1）∵A₁ABB₁是菱形，E是AB₁中點,∴E是A₁B中點，連A₁C ,∵F是BC中點，
∴EF∥A₁C
∵ A₁C平面A₁ACC₁，EF平面A₁ACC₁， ∴EF//平面A₁ACC₁  
（2）作FG⊥AB交AB于G，連EG ∵側面A₁ABB₁⊥平面ABC且交線是AB ∴FG⊥平面A₁ABB₁，∴∠FEG是EF與平面A₁ABB₁所成的角
由AB=a，AC⊥BC，∠ABC=45°，得 由AA₁=AB=a，∠A₁AB=60°，
得 ∴ EF與平面A₁ABB₁所成的角為30°
（3）取AB的中點M，可以證明,以BC為y軸，以MC為x軸,MA₁為z軸建立空間直角坐標系,不難求得平面ABE的一個法向量為，平面BEC的一個法向量為，
∴ ，∴二面角的大小為余弦值.