Question

在如圖所示的幾何體中，四邊形為平行四邊形，，平面，，，，，且是的中點.
（Ⅰ）求證：平面；
（Ⅱ）求二面角的大小；
（Ⅲ）在線段上是否存在一點，使得與所成的角為？ 若存在，求出的長度；若不存在，請說明理由.

Answer 1

證明：（Ⅰ）取的中點，連接.
在△中，是的中點，是的中點，所以，
又因為，
所以且.
所以四邊形為平行四邊形，
所以.
又因為平面，平面，
故平面.                                     …………… 4分
解法二：因為平面，，故以為原點，建立如圖所示的空間直角坐標系.           ……………1分                                             
由已知可得

（Ⅰ）， .      ……………2分
設平面的一個法向量是.
由得  
令，則.                               ……………3分
又因為，
所以，又平面，所以平面.      ……………4分
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知平面的一個法向量是.
因為平面，所以.
又因為，所以平面.
故是平面的一個法向量.
所以，又二面角為銳角，
故二面角的大小為.                           ……………10分
（Ⅲ）假設在線段上存在一點，使得與所成的角為.
不妨設（），則.
所以，
由題意得，
化簡得，
解得.
所以在線段上不存在點，使得與所成的角為.…………14分

略