Question

【題目】已知函數(shù) .

（Ⅰ）討論的單調(diào)性；

（Ⅱ）設(shè)，證明：當(dāng)時(shí)， ；

（Ⅲ）設(shè)是的兩個(gè)零點(diǎn)，證明 .

Answer 1

【答案】（Ⅰ）在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，；（Ⅲ）證明過(guò)程見(jiàn)解析

【解析】試題分析：（Ⅰ）求導(dǎo)，并判斷導(dǎo)數(shù)的符號(hào)，分別討論的取值，確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．
（Ⅱ）構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)當(dāng)時(shí)的最大值小于零即可．

（Ⅲ）由（Ⅱ）得 ，從而，于是，由（Ⅰ）知， .

試題解析：（Ⅰ）的定義域?yàn)?/span> ，

求導(dǎo)數(shù)，得 ，

若 ，則，此時(shí)在上單調(diào)遞增，

若 ，則由得，當(dāng)時(shí)， ，當(dāng)時(shí)， ，

此時(shí)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.

（Ⅱ）令，則

.

求導(dǎo)數(shù)，得 ，

當(dāng)時(shí)，，在上是減函數(shù).

而， ，

故當(dāng)時(shí)，

（Ⅲ）由（Ⅰ）可知，當(dāng)時(shí)，函數(shù)至多有一個(gè)零點(diǎn)，

故，從而的最小值為，且，

不妨設(shè)，則， ，

由（Ⅱ）得 ，

從而，于是，

由（Ⅰ）知， .

點(diǎn)晴:本題考查函數(shù)導(dǎo)數(shù)的單調(diào)性.不等式比較大小，函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題：在（Ⅰ）中通過(guò)求導(dǎo)，并判斷導(dǎo)數(shù)的符號(hào)，分別討論的取值，確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．（Ⅱ）通過(guò)構(gòu)造函數(shù)，把不等式證明問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)求最值問(wèn)題，求函數(shù)當(dāng)時(shí)的最大值小于零即可．（Ⅲ）要充分利用（Ⅰ）（Ⅱ）問(wèn)的結(jié)論.