Question

【題目】已知定義在R上的函數f（x）滿足 為常數

（1）求函數f（x）的表達式；

（2）如果f（x）為偶函數，求a的值；

（3）當f（x）為偶函數時，若方程f（x）=m有兩個實數根x1，x2；其中x1＜0，0＜x2＜1；求實數m的范圍．

Answer 1

【答案】（1）f（x）=2﹣x+a2x；（2）1（3）

【解析】解：（1）f(x)=x+,a是常數，令t=x,則x=,

∴f（t）==2﹣t+a2t 從而有f（x）=2﹣x+a2x；

（2）∵f（x）為偶函數，∴f（﹣x）=f（x）

∴2x+a2﹣x=2﹣x+a2x整理可得，（a﹣1）2x=（a﹣1）2﹣x

∴a=1

（3）由（2）可得f（x）為偶函數，a=1，f（x）=2x+2﹣x

令n=2x，n＞0，f（n）=n+，n＞0的圖象如圖，

結合圖象可得方程f（x）=m有兩個實數根x1，x2，

其中x1＜0，0＜x2＜1f（n）=m有兩個實數根n1，n2其中0＜n1＜1，1＜n2＜2

而函數f（n）=n+在（0，1）上單調遞減，在（1，2）單調遞增

結合圖象可得，函數有兩個交點