Question

由原點向三次曲線引切線,切于不同于點的點
，再由引此曲線的切線，切于不同于的點，如此繼續地作下去,……,得到點列，試回答下列問題： ⑴求； (2)求與的關系式；
(3)若，求證:當為正偶數時,；當為正奇數時,.

Answer 1

⑴，⑵⑶證明略

⑴由 ① 得y′=3x²－6ax＋b.
過曲線①上點的切線的方程是：
由它過原點，有
                                      
⑵ 過曲線①上點的切線l_n+1的方程是：
,由過曲線①上點，有
∵，以除上式，得

以除之，得  
(3)方法1 由(2)得
故數列{x _n－a}是以x ₁－a=為首項,公比為－的等比數列,
 
∵，∴當為正偶數時,
當為正奇數時,                      
方法2
=
以下同解法1.