Question

【題目】已知數列{an}的前n項和為Sn ， 滿足Sn= an﹣n（t＞0且t≠1，n∈N*）
（1）證明：數列{an+1}為等比數列，并求數列{an}的通項公式（用t，n表示）
（2）當t=2時，令cn= ，證明 ≤c1+c2+c3+…+cn＜1．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵數列{an}的前n項和為Sn，滿足Sn= an﹣n（t＞0且t≠1，n∈N*），

∴由題意當n=1時，a1=t﹣1，

∵Sn= an﹣n，①

∴Sn+1= an+1﹣（n+1），②

②﹣①得an+1=tan+t﹣1，即an+1+1=t（an+1），

∴{an+1}是以t為首項，以t為公比的等比數列

∴數列{an}的通項公式

（2）證明： = =

令Tn=c1+c2+c3+…+cn，

則Tn=（1﹣ ）+（ ）+（ ）+…+（ ）=1﹣ ．

∵Tn單調遞增，∴當n=1時，（Tn）min= ，當n趨向無窮大時，Tn趨近1．

∴ ≤c1+c2+c3+…+cn＜1

【解析】（1）當n=1時，a1=t﹣1，an+1+1=t（an+1），由此能證明{an+1}是以t為首項，以t為公比的等比數列，并能求出數列{an}的通項公式．（2） = ，利用裂項求和法求出Tn=c1+c2+c3+…+cn=1﹣ ，由此能證明 ≤c1+c2+c3+…+cn＜1．
【考點精析】通過靈活運用等比數列的通項公式（及其變式），掌握通項公式：即可以解答此題．