Question

【題目】已知函數，直線.

（1）若直線與曲線有且僅有一個公共點，求公共點橫坐標的值；

（2）若，求證： .

Answer 1

【答案】（1）公共點的橫坐標為和；（2）見解析

【解析】試題分析：

(1)利用題意分類討論 和 可得公共點橫坐標的值為和；

(2)利用不等式的特點構造函數，結合新函數的特點和題意可得結論成立.

試題解析：

解：（1）由，得，

易知時， 單調遞減， 時， 單調遞增，

根據直線的方程，可得恒過點，

①當時，直線垂直軸，與曲線相交于一點，即焦點橫坐標為；

②當時，設切線，直線可化為，斜率，

又直線和曲線均過點，則滿足，

所以，兩邊約去后，

可得，化簡得，

切點橫坐標，綜上所述，由①和②可知，該公共點的橫坐標為和；

（2）①若時，欲證，

由題意，由問可知在上單調遞減，證對恒成立即可.

設函數，則，

即，

設，則，

易知時， 單調遞減， 時， 單調遞增，

當時，有，且滿足，故，

即，又，則，

所以在上單調遞減，有，

即，所以.