Question

【題目】直三棱柱ABC﹣A1B1C1 中，AA1=AB=AC=1，E，F分別是CC1、BC 的中點，AE⊥ A1B1 ， D為棱A1B1上的點．

（1）證明：DF⊥AE；
（2）是否存在一點D，使得平面DEF與平面ABC所成銳二面角的余弦值為 ？若存在，說明點D的位置，若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵AE⊥A1B1，A1B1∥AB，∴AE⊥AB，

又∵AA1⊥AB，AA1⊥∩AE=A，∴AB⊥面A1ACC1，

又∵AC面A1ACC1，∴AB⊥AC，

以A為原點建立如圖所示的空間直角坐標系A﹣xyz，

則有A（0，0，0），E（0，1， ），F（ ， ，0），A1（0，0，1），B1（1，0，1），

設D（x，y，z）， 且λ∈[0，1]，即（x，y，z﹣1）=λ（1，0，0），

則 D（λ，0，1），所以 =（ ， ，﹣1），

∵ =（0，1， ），∴ = =0，所以DF⊥AE

（2）結論：存在一點D，使得平面DEF與平面ABC所成銳二面角的余弦值為 ．

理由如下：

設面DEF的法向量為 =（x，y，z），則 ，

∵ =（ ， ， ）， =（ ，﹣1），

∴ ，即 ，

令z=2（1﹣λ），則 =（3，1+2λ，2（1﹣λ））．

由題可知面ABC的法向量 =（0，0，1），

∵平面DEF與平面ABC所成銳二面角的余弦值為 ，

∴|cos＜ ， ＞|= = ，即 = ，

解得 或 （舍），所以當D為A1B1中點時滿足要求．

【解析】（1）先證明AB⊥AC，然后以A為原點建立空間直角坐標系A﹣xyz，則能寫出各點坐標，由 與 共線可得D（λ，0，1），所以 =0，即DF⊥AE；（2）通過計算，面DEF的法向量為 可寫成 =（3，1+2λ，2（1﹣λ）），又面ABC的法向量 =（0，0，1），令|cos＜ ， ＞|= ，解出λ的值即可．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解直線與平面垂直的性質的相關知識，掌握垂直于同一個平面的兩條直線平行．