Question

【題目】如圖，三棱錐中，點分別是的中點，點是的重心.

（1）證明：平面；

（2）若平面平面，，，，，求平面與平面所成的銳二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）

【解析】

（1）延長交于點，點為的中點，則有，可證平面，平面，從而有平面平面，即可證明結論；

（2）由，得，再由平面平面，得平面，以為坐標原點，建立空間直角坐標系，設，求出坐標，進而求出平面與平面的法向量坐標，即可求解.

（1）證明：延長交于點，點為的中點，

因為，分別是棱，的中點，

所以是的中位線，所以，

又平面，平面，

所以平面.

同理可證平面

又，平面，平面，

所以平面平面，

因為平面，所以平面

（2）連接，因為，

是的中點，所以，

又平面平面，平面平面，

平面，所以平面.

以為坐標原點，以向量所在的方向分別作為軸、軸的正方向，

以與向量垂直的方向為軸的正方向，

建立如圖所示的空間直角坐標系

設，則，

，

，

設平面的一個法向量為，

則，即

令，得，于是取

又平面的一個法向量為，

則，即

令，得

于是取

設平面與平面的所成的銳二面角為

則

所以平面與平面的所成的銳二面角的余弦值為