Question

【題目】已知橢圓的中心為，左、右焦點分別為、，上頂點為，右頂點為，且、、成等比數列.

（1）求橢圓的離心率；

（2）判斷的形狀，并說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）直角三角形，理由見解析

【解析】

（1）設橢圓的長軸、短軸、焦距分別為、、，由題設可得及，消得a、c齊次式，解得離心率；

（2）設橢圓的方程為，則，，，.方法一：利用向量，方法二：利用斜率，方法三：利用勾股定理，可得到是直角三角形.

（1）設橢圓的長軸、短軸、焦距分別為、、，

則、、.

由題設及，消得：即.

解得：或.

又，則.

（2）方法一：設橢圓的方程為，

則，，，.

∴，，

∴，∴，

故，∴是直角三角形.

方法二：設橢圓的方程為，

則，，，.

∴，，

∴，∴，

故，∴是直角三角形.

方法三：由條件得：在中，，，.

，

，

∴，

故，∴是直角三角形.