Question

【題目】已知函數(shù)（， ， ），是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)．

（Ⅰ）當(dāng)， 時(shí)，求函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)；

（Ⅱ）若，求在上的最大值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）2；（Ⅱ）見(jiàn)解析.

【解析】試題分析：（Ⅰ） ， ，由導(dǎo)數(shù)性質(zhì)得是（0，+∞）上的增函數(shù)，是（-∞，0）上的減函數(shù)，由此能求出f（x）的零點(diǎn)個(gè)數(shù)．
（Ⅱ）當(dāng)x∈[-1，1]時(shí)， ，由導(dǎo)數(shù)性質(zhì)得f（x）是[-1，0]上的減函數(shù)，[0，1]上的增函數(shù)，由此利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)和構(gòu)造法能求出a的取值范圍．

試題解析：

（Ⅰ），∴，∴，

當(dāng)時(shí)， ，∴，故是上的增函數(shù)，

當(dāng)時(shí)， ，∴，故是上的減函數(shù)，

， ，∴存在是在上的唯一零點(diǎn)；

， ，∴存在是在上的唯一零點(diǎn)，

所以的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為2．

（Ⅱ） ，

當(dāng)時(shí)，由，可知， ，∴，

當(dāng)時(shí)，由，可知， ，∴，

當(dāng)時(shí)， ，

∴是上的減函數(shù)， 上的增函數(shù)，

∴當(dāng)時(shí)， ， 為和中的較大者．

而，設(shè)（），

∵ （當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立），

∴在上單調(diào)遞增，而，

∴當(dāng)時(shí)， ，即時(shí)， ，∴．

∴在上的最大值為.