Question

【題目】已知曲線 的參數方程 ( 為參數），曲線 的極坐標方程為 .
（1）將曲線 的參數方程化為普通方程，將曲線 的極坐標方程化為直角坐標方程；
（2）試問曲線 ， 是否相交？若相交，請求出公共弦的長；若不相交，請說明理由.

Answer 1

【答案】
（1）解：由 （ 為參數)得 ，

曲線 的普通方程為 .

∵ ，∴ .

∴有 即 為所求曲線 的直角坐標方程

（2）解：∵圓 的圓心坐標 ,圓 的圓心坐標為 ，

∴ ，所以兩圓相交.

設相交弦長為 ，因為兩圓半徑相等，所以公共弦平分線段 ，

∴ ，

∴ .

即所求公共弦的長為

【解析】(1)根據同角三角函數的關系式消去參數θ ，即可求出曲線C1的普通方程再把曲線C2的極坐標方程兩邊同乘以，借助極坐標公式進行化簡即可求出直角坐標的方程。(2)先求出兩個圓心之間的距離與兩半徑和進行比較，設出相交弦長為d，因為兩圓半徑相等所以公共弦分線段C1C2，建立等量關系求出即可。