Question

【題目】如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，PB⊥平面ABCD，AB⊥BC，AD∥BC，AD＝2BC＝2，AB＝BC＝PB，點E為棱PD的中點.

（1）求證：CE∥平面PAB；

（2）求證：AD⊥平面PAB；

（3）求二面角E﹣AC﹣D的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）證明見解析（3）

【解析】

（1）取PA中點F，連接EF，BF，因為E為PD中點，F為PA中點，證明四邊形BCEF為平行四邊形，得到CE∥BF，然后證明CE∥平面PAB.

（2）證明PB⊥AD，AD⊥AB，然后證明AD⊥平面PAB.

（3）以B為原點，如圖建立空間直角坐標系B﹣xyz，求出平面ACD的一個法向量，平面ACE的一個法向量，結(jié)合二面角E﹣AC﹣D為銳角，通過空間向量的數(shù)量積求解二面角E﹣AC﹣D的余弦值即可.

證明：（1）取PA中點F，連接EF，BF，因為E為PD中點，F為PA中點，

所以EF∥AD，且

又因為BC∥AD，且

所以EF∥BC，且EF＝BC

所以四邊形BCEF為平行四邊形，

所以CE∥BF，

因為CE平面PAB，BF平面PAB

所以CE∥平面PAB.

（2）因為PB⊥平面ABCD，AD平面ABCD

所以PB⊥AD

又因為AB⊥BC，AD∥BC

所以AD⊥AB，

又AB∩PB＝B，AB、PB平面PAB

所以AD⊥平面PAB.

（3）因為PB⊥平面ABCD，AB、BC平面ABCD

所以PB⊥AB，PB⊥BC，又AB⊥BC，

以B為原點，如圖建立空間直角坐標系B﹣xyz，

所以

已知平面ACD的一個法向量；

設(shè)平面ACE的法向量，

則，即，

令x＝1，則y＝1，z＝﹣1；

所以平面ACE的一個法向量為

所以

由圖可知二面角E﹣AC﹣D為銳角，

所以二面角E﹣AC﹣D的余弦值為.