Question

已知函數y=ax³+bx²，當x=1時，有極大值3
（1）求函數的解析式
（2）寫出它的單調區間
（3）求此函數在[-2，2]上的最大值和最小值．

Answer 1

分析：（1）求出y′，由x=1時，函數有極大值3，所以代入y和y′=0中得到兩個關于a、b的方程，求出a、b即可；
（2）令y′＞0解出得到函數的單調增區間，令y′＜0得到函數的單調減區間；
（3）由（2）求出函數的極值，再計算出函數在x=-2，x=2處的函數值，進行比較，其中最大者即為最大值，最小者即為最小值；

解答：解：（1）y′=3ax²+2bx，當x=1時，y′|_x=1=3a+2b=0，y|_x=1=a+b=3，
即

3a+2b=0 a+b=3

，解得a=-6，b=9，
所以函數解析式為：y=-6x³+9x²．
（2）由（1）知y=-6x³+9x²，
y′=-18x²+18x，令y′＞0，得0＜x＜1；令y′＜0，得x＞1或x＜0，
所以函數的單調遞增區間為（0，1），函數的單調遞減區間為（-∞，0），（1，+∞）．
（3）由（2）知：當x=0時函數取得極小值為0，當x=1時函數取得極大值3，
又y|_x=-2=84，y|_x=2=-12．
故函數在[-2，2]上的最大值為84，最小值為-12．

點評：本題考查利用導數研究函數的單調性、函數的極值及函數在閉區間上的最值問題，屬中檔題，準確求導，熟練運算是解決該類問題的基礎．