Question

已知函數y=ax³-15x²+36x-24在x=3處有極值，則函數的遞減區間為（　　）

A．（-∞，1），（5，+∞）

B．（1，5）

C．（2，3）

D．（-∞，2），（3，+∞）

Answer 1

分析：根據導數的運算法則求得y'=3ax²-30x+36．由題意當x=3時y'=0，解得a=2，從而得到導函數y'=6x²-30x+36，再解關于x的不等式y'＜0，即可得到函數的遞減區間．

解答：解：對函數y=ax³-15x²+36x-24求導數，得y'=3ax²-30x+36
∵函數y=ax³-15x²+36x-24在x=3處有極值，
∴當x=3時，y'=27a-54=0，解之得a=2
由此可得函數解析式為y=2x³-15x²+36x-24，
得y'=6x²-30x+36，解不等式y'＜0，得2＜x＜3
∴函數的遞減區間為（2，3）
故選：C

點評：本題給出三次多項式函數的極值，求函數的單調減區間．著重考查了利用導數研究函數的單調性、函數的極值求法等知識，屬于中檔題．