Question

【題目】在平面直角坐標系xOy中，已知點P為函數y=2lnx的圖像與圓M：（x﹣3）2+y2=r2的公共點，且它們在點P處有公切線，若二次函數y=f（x）的圖像經過點O，P，M，則y=f（x）的最大值為 ．

Answer 1

【答案】
【解析】解：設P（x0 ， y0），函數y=2lnx的導數為y′= ， 函數y=2lnx在點P處的切線方程為y﹣y0= （x﹣x0），
即為 x﹣y+y0﹣2=0；
圓M：（x﹣3）2+y2=r2的上點P處的切線方程為（x0﹣3）（x﹣3）+yy0=r2 ，
即有（x0﹣3）x+yy0+9﹣3x0﹣r2=0；
由切線重合，可得
= = ，
即x0（3﹣x0）=2y0 ，
則P為二次函數y= x（3﹣x）圖像上的點，
且該二次函數圖像過O，M，
則當x= 時，二次函數取得最大值 ，
所以答案是： ．