Question

【題目】已知 =（cosα，sinα）， =（cosβ，sinβ），其中0＜α＜β＜π．
（1）求證： 與 互相垂直；
（2）若k 與 ﹣k 的長(zhǎng)度相等，求β﹣α的值（k為非零的常數(shù)）．

Answer 1

【答案】
（1）證明：由題意得： + =（cosα+cosβ，sinα+sinβ）

﹣ =（cosα﹣cosβ，sinα﹣sinβ）

∴（ + ）（ ﹣ ）=（cosα+cosβ）（cosα﹣cosβ）+（sinα+sinβ）（sinα﹣sinβ）

=cos2α﹣cos2β+sin2α﹣sin2β=1﹣1=0

∴ + 與 ﹣ 互相垂直

（2）解：方法一：k + =（kcosα+cosβ，ksinα+sinβ），

﹣k =（cosα﹣kcosβ，sinα﹣ksinβ）

|k + |= ，| ﹣k |=

由題意，得4cos（β﹣α）=0，

因?yàn)?＜α＜β＜π，

所以β﹣α= ．

方法二：由|k + |=| ﹣k |得：|k + |2=| ﹣k |2

即（k + ）2=（ ﹣k ）2，k2| |2+2k +| |2=| |2﹣2k +k2| |2

由于| |=1，| |=1

∴k2+2k +1=1﹣2k +k2，故 =0，

即（cosα，sinα）（cosβ，sinβ）=0

即cosαcosβ+sinαsinβ=4cos（β﹣α）=0

因?yàn)?＜α＜β＜π，

所以β﹣α=

【解析】（1）根據(jù)已知中向量 ， 的坐標(biāo)，分別求出向量 + 與 ﹣ 的坐標(biāo)，進(jìn)而根據(jù)向量數(shù)量積公式及同角三角函數(shù)的平方關(guān)系，可證得 與 互相垂直；（2）方法一：分別求出k 與 ﹣k 的坐標(biāo)，代入向量模的公式，求出k 與 ﹣k 的模，進(jìn)而可得cos（β﹣α）=0，結(jié)合已知中0＜α＜β＜π，可得答案．方法二：由|k + |=| ﹣k |得：|k + |2=| ﹣k |2 ， 即（k + ）2=（ ﹣k ）2 ， 展開(kāi)后根據(jù)兩角差的余弦公式，可得cos（β﹣α）=0，結(jié)合已知中0＜α＜β＜π，可得答案．
【考點(diǎn)精析】通過(guò)靈活運(yùn)用數(shù)量積判斷兩個(gè)平面向量的垂直關(guān)系，掌握若平面的法向量為，平面的法向量為，要證，只需證，即證;即：兩平面垂直兩平面的法向量垂直即可以解答此題．