Question

已知焦點在軸上橢圓的長軸的端點分別為，為橢圓的中心，為右焦點，且,離心率。
（Ⅰ）求橢圓的標準方程；
（Ⅱ）記橢圓的上頂點為，直線交橢圓于兩點，問：是否存在直線，使點恰好為的垂心？若存在，求出直線的方程，若不存在，請說明理由。

Answer 1

（Ⅰ）略
（Ⅱ）假設存在直線交橢圓與點兩點，且恰為的垂心，設，，因為,故。于是設直線為，由得
所以：，
  
又   
即：
由韋達定理得：
解得或（舍去）
經檢驗符合條件，故直線的方程為。

略